matematica frattale, aggrovigliata, irregolare ... complessa!

I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Si dice che la parte é nel tutto e il tutto é nella parte. Tagliare in due parti un frattale non é come tagliare in due parti una fotografia: se nel secondo caso, come sappiamo, avremo metá immagine da una parte e metá dall’altra, nel caso del frattale in entrambe le metá avremo un’immagine molto simile a quella originale, pur se di dimensioni piú piccole. Infinito ripetersi di uno stesso motivo su scala sempre piú ridotta. Pensate alle spirali. O guardate frattali come questi.

Alla base di queste figure che sembrano estremamente complesse, irregolari, aggrovigliate, vi sono formule molto semplici, solo iterate all’infinito. Secondo Chris Langton, dell’Istituto di Santa Fe: «La scienza della complessità ci insegna che la complessità che vediamo nel mondo è il risultato di una semplicità nascosta».
La matematica dei frattali é pertanto semplice e l’aspetto piú sorprendente é che la complessitá nasce dalla semplicitá. I frattali possono essere generati da algoritmi (la meccanica ripetizione di certe sequenze di calcoli) e, per di più, da algoritmi molto semplici.
Ad esempio, il noto Mandelbrot set (di seguito rappresentato), suggestivo tanto da sembrare una valle dei cavallucci marini o una valle di proboscidi di elefanti, emerge dall’iterazione della semplice formula: Z futuro = Zquadro attuale + C (Z e C sono numeri complessi).

Spesso pensiamo alla matematica come a fredde formule su un libro di testo da mandare giú a memoria. Dimostrazioni, passaggi logici fino ad arrivare all’agognato CVD (Come Volevasi Dimostrare). Che fatica arrivare al CVD a volte, tanto che era una soddisfazione unica scriverlo, dopo pagine e pagine di calcoli, a caratteri cubitali, sottolineato, imposto. Ma la matematica frattale non é solo una costruzione artificiale fine a se stessa. É invece un mezzo per descrivere molte forme presenti in natura. È la forma delle nuvole, degli alberi, dei fiori, del mare che si infrange sugli scogli. Guardate solo alcuni dei frattali presenti in natura.

Non solo. Anche in fisiologia umana ricorrono molte forme frattali. Guardate questo disegno di Leonardo da Vinci raffigurante alcuni organi umani.

E poi lo sviluppo del feto sembra seguire una dinamica frattale e questa matematica è anche applicata allo studio dei tumori . Si è scoperto, infatti, che nell’organismo colpito da tale patologia tendono a formarsi vasi sanguigni che nutrono le cellule tumorali. Riuscire a fermare tale fenomeno può voler dire sconfiggere la malattia. Ebbene, recenti studi stanno dimostrando che lo sviluppo di tali vasi sanguigni può essere misurato con l’applicazione della matematica frattale.

Quindi, la matematica non é necessariamente astrazione, freddezza, fatiche inimmaginabili per l’agognato CVD. Vi é anche una matematica semplice che dá luogo a forme complesse, aggrovigliate e irregolari, e soprattutto presenti in natura, ovunque attorno a noi. Basta aprire gli occhi. Non vedremo coni, sfere, cerchi, ma frattali ramificati.

more is different

Nel 1972 io non ero nato. Non ero neanche immaginato, credo.
Philip W. Anderson, premio Nobel per la fisica nel 1977, pubblica un articolo destinato a fare storia: More is different. Leggetelo, è illuminante.
Sosteneva ad esempio:
La capacità di ridurre ogni cosa a semplici leggi fondamentali non implica la capacità di ricostruire l’universo a partire da quelle leggi... Il comportamento di aggregati grandi e complessi di particelle elementari non si spiega in termini di una semplice estrapolazione delle proprietà di poche particelle. Al contrario, ad ogni livello di complessità compaiono proprietà interamente nuove.

Un vero e proprio attacco alla gerarchia. Alla gerarchia dei saperi innanzitutto. I saperi non sono compartimenti a tenuta stagna, non vi è supremazia di un sapere su altri. Sono connessi, interrelati, congiunti. Non vi è un sopra distinto da un sotto.
Perchè alcuni fenomeni, da sempre trascurati, emergono dal basso e quindi impongono di uscire dalla logica dei compartimenti stagni. Impongono di passare dinamicamente da uno stato ad un altro, e quindi da un sapere ad un altro. Chimica che emerge dalla fisica, scienza della vita dalla chimica, auto-coscienza dalla biologia, coscienza collettiva sociale dalla coscienza individuale, economia della vita comunitaria organizzata dalla coscienza sociale, e così via.

More is different. L’intero diventa non solo di più, ma anche molto diverso dalla somma delle sue parti. Non vi è un sopra e un sotto. Emergenza, la gerarchia scricchiola.

cine-caos

Il caos spiegato nel film Jurassic Park...

massa critica

Premetto, devo ancora acquistarlo. Ma gli argomenti sono i nostri.

Alcuni dei comportamenti applicati all'econofisica, tra cui la legge di Zips, il modello random walk, i fenomeni cosiddetti del "mondo piccolo", la teoria delle catastrofi, le transizioni di fase, la teoria delle biforcazioni, e applicazioni alla teoria dei giochi come il dilemma del Prigioniero. Temi portanti dei moderni modelli matematici che spiegano il comportamento di fondamentali fenomeni economici e sociali.

Philip Ball, Massa critica. La nuova scienza dei comportamenti collettivi, Rizzoli, 2006.

appunti dalla seconda lezione sulla complessità

Ovvero i sette principi della teoria della complessità, secondo il modello di Prede o ragni prima (2005), e di Viaggio nella complessità poi (2007). Sette principi della teoria della complessità che nella terza lezione verranno declinati nei sette principi per le organizzazioni.

E allora, ecco i sette principi della teoria della complessità:
1 - auto-organizzazione: l’auto-organizzazione è la comparsa spontanea di ordine, nuove strutture e nuove forme di comportamento in sistemi termodinamicamente aperti ma organizzativamente chiusi, lontani dall’equilibrio;
2 - orlo del caos: i sistemi complessi ricercano l’orlo del caos, uno stato vitale in equilibrio dinamico tra ordine e disordine, in perenne cambiamento;
3 - principio ologrammatico: la parte è nel tutto, il tutto è nella parte;
4 - impossibilità della previsione: i sistemi complessi si trovano in uno stato al limite tra prevedibilità e non prevedibilità, dove tutto è possibile ma non tutto si realizza;
5 - potere delle connessioni: ogni cosa è connessa ad un’altra e sovente con una grande sensibilità. In circostanze appropriate la minima indeterminazione può crescere fino a rendere del tutto imprevedibile il futuro del sistema. Le connessioni sono numerose e potenti;
6 - causalità circolare: nei sistemi complessi, la causa genera l’effetto, che a sua volta retroagisce sulla causa in una relazione circolare che si auto-alimenta;
7 - apprendimento try & learn: in condizioni di elevata complessità, dominate dall’intreccio tra necessità e caso, l’unico modo per apprendere è quello che procede per tentativi (try&learn).

Qui le slides.